TEOREMA DE PITAGORAS

USOS EN LA VIDA COTIADANA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

ARQUITECTURA Y CONSTRUCCIÓN

LA APLICACIÓN MÁS OBVIA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS SE ENCUENTRA EN EL MUNDO DE LA ARQUITECTURA Y DE LA CONSTRUCCIÓN, PARTICULARMENTE EN LO REFERIDO A TEJADOS CON FORMAS TRIANGULARES Y HASTIALES. EL TEOREMA SE APLICA SÓLO CUANDO SE TRABAJA CON TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS O TRIÁNGULOS CON UN ÁNGULO DE 90 GRADOS

LOCALIZACIÓN DE UN TERREMOTO

LOS GEÓLOGOS TAMBIÉN USAN EL TEOREMA DE PITÁGORAS CUANDO SE RASTREA LA ACTIVIDAD DE UN TERREMOTO. ESTOS RESULTAN DE DOS TIPOS DE ONDAS: UNA QUE ES MÁS LENTA QUE LA OTRA. AL TRIANGULAR LA DISTANCIA RECORRIDA POR LA ONDA MÁS RÁPIDA CON LA CORRESPONDIENTE A LA ONDA MÁS LENTA, LOS GEÓLOGOS PUEDEN DETERMINAR EL CENTRO O LA FUENTE DEL TERREMOTO.

TRAYECTORIA DE UN MISIL O DE UNA BALA

LOS ARQUEROS USAN EL TEOREMA DE PITÁGORAS PARA DETERMINAR LA TRAYECTORIA CORRECTA NECESARIA PARA DAR EN EL BLANCO. SI LOS CÁLCULOS SON EXACTOS, LA FLECHA IMPACTARÁ EL OBJETIVO. SI NO, PODRÍA CAER ANTES O ERRAR LA MARCA DESEADA. LOS SISTEMA DE MISILES GUIADOS USAN UN MÉTODO SIMILAR PARA DAR CON EXACTITUD SOBRE UN OBJETIVO.

TEOREMA DE TALES DE MILETO

PRIMER TEOREMA

COMO DEFINICIÓN PREVIA AL ENUNCIADO DELTEOREMA, ES NECESARIO ESTABLECER QUE DOS TRIANGULOS  SON SEMEJANTES SI TIENEN LOS ANGULOS CORRESPONDIENTES IGUALES Y SUS LADOS PROPORCIONALES ENTRE SÍ. EL PRIMER TEOREMA DE TALES RECOGE UNO DE  LOS POSTULADOS MAS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA, A SABER, QUE:

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados sonproporcionales a los del triángulo ABC.
Lo que se traduce en la fórmula

• SI EN UNTRIÁNGULO SE TRAZA UNA LÍNEA PARALELA A CUALQUIERA DE SUS LADOS, SE OBTIENEN DOS TRIÁNGULOS SEMEJANTES.

ENTONCES, VEAMOS EL PRIMER TEOREMA DE TALES EN UN TRIÁNGULO:

SEGUNDO TEOREMA

EL SUNDO TEOREMA DE TALES DE MILETO ES UN TEOREMA DE GEOMETRÍA PARTICULARMENTE ENFOCADO A LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS , LAS CIRCUNFERENCIAS Y LOS ÁNGULOS INSCRITOS, CONSISTE EN EL SIGUIENTE ENUNCIADO:

SEA B UN PUNTO DE LA CIRCUNFERENCIA DE DIÁMETRO AC, DISTINTO DE A  Y DE C.  ENTONCES ELÁNGULO ABC, ES RECTO.

ESTE TEOREMA (VÉASE FIGURAS 1Y2), ES UN CASO PARTICULAR DE UNA PROPIEDADDE LOS PUNTOS COCÍCLICOS Y DE LA APLICACIÓN DE LOS ÁNGULOS INSCRITOS DENTRO DE UN CIRCUNFERENCIA.

Figura 1.

Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto.

Figura 2.

Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será constante y recto.

TEOREMA DE SEMEJANZA DE TRIANGULOS

TRIANGULOS SEMEJANTES

DOS TRIANGULOS SON SEMEJANTES CUANDO TIENEN SUS LADOS HOMOLOGOS PROPORCIONALES .

LA RAZON DE LA PROPORCION ENTRE LOS LADOS DE LOS TRIANGULOS SE LLAMA RAZON DE SEMEJANZA. LA RAZON DE LOS PERIMETROS DE LOS TRIANGULOS SEMEJANTES ES IGUAL A SU RAZON DE SEMEJANZA. LA RAZON DE LAS AREAS DE LOS TRIANGULOS SEMEJANTES ES IGUAL AL CUADRO DE SU RAZON DE SEMEJANZA.

CRITERIOS DE SEMEJANZA

1.- DOS TRIANGULOS SON SEMEJANTES SI TIENEN DOS ANGULOS IGUALES.

2.- DOS TRIANGULOS SON SEMEJANTES SI TIENEN LOS LADOS PROPORCIONALES.

3.- DOS TRIANGULOS SON SEMEJANTES SI TIENEN DOS LADOS PROPORCIONALES Y EL ANGULO COMPRENDIDO ENTRE ELLOS ES IGUAL.

TRIANGULOS HOMOLOGOS: LOS LADOS QUE SON CORRESPONDIENTES SE LES LLAMA LADOS HOMOLOGOS. 

TEOREMA DE TRIÁNGULOS CONGRUENTES

TRIÁNGULOS CONGRUENTES

AL COMPARAR DOS FIGURAS, SI OBSERVAMOS QUE TIENEN LA MISMA FORMA Y LA MISMA MEDIDA, DECIMOS QUE LAS FIGURAS SON CONGRUENTES.

CRITERIOS DE CONGRUENCIA

1. LLL:  DOS TRIÁNGULOS SON CONGRUENTES SI SUS TRES LADOS SON RESPECTIVAMANTE IGUALES.
2. LAL: DOS TRIÁNGULOS SON CONGRUENTES SI SON RESPECTIVAMENTE IGUALES DOS DE SUS LADOS  Y EL ANGULOCOMPRENDIDO ENTRE ELLOS.
3. ALA:  DOS TRIANGULOS SON CONGRUENTES SI TIENEN UN LADO CONGRUENTE Y LOS ANGULOS CON VERTICE EN LOS EXTREMOS DE DICHO LADO TAMBIEN CONGRUENTES. A ESTOS ANGULOS SELES LLAMA ADYACENTES A LADO.
4. LLA:  DOS TRIANGULOS SON CONGRUENTES SI TIENEN LADOS RESPECTIVAMENTE CONGRUENTES Y LOS ANGULOS OPUESTOS AL MAYOR TAMBIEN SON CONGRUENTES.

ÁNGULOS INTERIORES Y EXTERIORES DE UN TRIÁNGULO

ÁNGULOS INTERNOS DE UN TRIÁNGULO

LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DE UN TRIÁNGULO ES IGUAL A 180°.

.

ÁNGULOS EXTERNOS DE UN TRIÁNGULO

EL ÁNGULO EXTERIOR DE UN TRIÁNGULO 

ES IGUAL A LA SUMA DE LOS ÁNGULOS 

INTERIORES OPUESTOS A ÉL.

TEOREMAS DE ÁNGULOS ENTRE RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE

ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS

LOS ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS ENTRE PARALELAS SON CONGRUENTES.

ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS

LOS ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS ENTRE 

PARALELAS SON CORRESPONDIENTES.

TEOREMA DE PARES DE ÁNGULOS

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

LOS ÁNGULOS OPUESTOS POR  EL VÉRTICE SON CONGRUENTES 

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

SON DOS ÁNGULOS QUE SUMADOS VALEN UN 

ÁNGULO RECTO, ES DECIR, 90°.

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

SON LOS ÁNGULOS QUE SUMADOS VALEN DOS 

ÁNGULOS RECTOS, ES DECIR, 180°